Интересные факты о геометрии8

Какое тело имеет бесконечную площадь поверхности при конечном объёме?

Если взять график функции y = 1 / x при x ≥ 1 и вращать его вокруг оси X, получится так называемая труба Торричелли, объём которой конечен и равен π, но площадь поверхности бесконечна. Другое название этого тела — рог Гавриила в честь архангела, который должен протрубить в Судный день. Отсюда возникает так называемый парадокс маляра: конечным объёмом краски можно заполнить рог, но этого количества не хватит, чтобы покрыть его бесконечную поверхность. С точки зрения математики противоречия нет: бесконечная площадь, умноженная на нулевую толщину идеальной краски, даёт неопределённый результат. Однако реальная краска имеет толщину как минимум в одну молекулу и конечную скорость течения, поэтому её слой на поверхности этого тела потребует уже бесконечного объёма.

Источник:Wikipedia / Gabriel's horn

ангелыбесконечностьгеометриякраскиматематикапарадоксыСтрашный судТорричеллифизикачисло пи

Какой фигурой можно замостить плоскость непериодичным способом?

Долгое время нерешённой оставалась задача одной плитки — геометрическая проблема нахождения фигуры, которой можно непериодически замостить плоскость. Решение в 2022 году нашёл математик-любитель Дэвид Смит. Предложенная им фигура, прозванная «шляпой», состоит из восьми склеенных дельтоидов — четырёхугольников, у которых равны две пары смежных сторон. Вскоре Смит с коллегами оптимизировали решение: если в первом случае некоторые «шляпы» приходилось зеркально отражать, то похожая фигура — «привидение» — обеспечивает замощение только за счёт поворотов.

Источник:Википедия / Задача одной плитки

геометрияматематикапривиденияшляпы

Каким своим открытием больше всего гордился Архимед?

Самым важным своим достижением Архимед считал не закон гидростатики, названный его именем, и не устройства, которые помогли победить осадивших Сиракузы римлян. Больше всего он гордился открытием того, что объёмы шара и описанного вокруг него цилиндра соотносятся как 2:3. Архимед даже завещал поместить на своей могиле скульптуру шара, вписанного в цилиндр; её упомянул Цицерон, посетивший Сиракузы два века спустя.

Источник:Wikipedia / Archimedes

АрхимедгеометрияДревний РимматематикамогилыСиракузыучёные

Почему нельзя точно измерить береговую линию?

Парадоксом береговой линии называют невозможность точного измерения кривых на картах — будь то береговая линия или граница между территориями. Для такого измерения нужно выбрать масштаб и аппроксимировать кривую, то есть соединить её точки прямыми отрезками равной длины, например по одному километру. Однако изгибы встречаются на любом масштабе, и чем меньше размер отрезка, тем больше будет итоговая длина, которая достигнет максимума при переходе к атомарному уровню. Поэтому в разных справочниках с таблицами ранжирования государств по длине береговой линии эти длины и сам порядок ранжирования могут сильно различаться именно из-за выбора масштаба, хотя на первом месте неизменно располагается Канада.

Источники:Википедия / Парадокс береговой линии • Википедия / Список стран по длине береговой линии

берегагеографиягеометрияграницыизмеренияКанадакартографияматематикапарадоксы

Почему пчелиные соты состоят из шестигранников?

Построение пчелиных сот из шестигранных ячеек выгодно с точки зрения оптимизации: для хранения того же количества мёда в трёх- или четырёхгранных ячейках потребовалось бы больше строительного материала. Однако пчёлы изначально делают не шестиугольные, а круглые ячейки, запечатывая просветы между ними воском. Нагреваясь от пчелиных тел, воск становится вязким и начинает медленно течь. Он выдавливается из стыков под действием сил поверхностного натяжения, стенки постепенно становятся плоскими, а цилиндры сот превращаются в шестиугольные призмы.

Источник:Популярная механика / Секрет формы пчелиных сотов: Поверхностное натяжение

геометриямёднасекомыеприродапчёлы

Почему главное здание Министерства обороны США имеет форму пентагона?

В облике главного здания Министерства обороны США изначально не было никакой символики. Место для него выбрали на участке в Арлингтоне, пригороде Вашингтона, на правом берегу реки Потомак; этот участок имел форму неправильного пятиугольника. Однако из-за опасений, что здание закроет вид на Вашингтон с Арлингтонского национального кладбища, место строительства перенесли. Но проектирование уже началось, поэтому общую форму строения решили оставить прежней. Поскольку новый участок не был строго ограничен дорогами, пятиугольник сделали правильным — так и появился Пентагон.

Источник:Wikipedia / The Pentagon

Арлингтонское национальное кладбищеархитектураВашингтонгеометрияПентагонстроительствоСША

Что происходит с параллельными прямыми в геометрии Лобачевского?

По распространённому мнению, в геометрии Лобачевского параллельные прямые пересекаются. На самом деле они не могут пересекаться ни в какой геометрии в силу самого определения параллельности. Главное отличие геометрии Лобачевского от евклидовой состоит в том, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не одну, а по крайней мере две прямые, не пересекающие данную прямую и находящиеся в той же плоскости.

Источник:Википедия / Геометрия Лобачевского

геометриязаблужденияЛобачевскийматематика

Каким сверлом можно просверлить квадратное отверстие?

Треугольник Рёло — геометрическая фигура, образованная пересечением трёх равных кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника. Сверло на основе треугольника Рёло позволяет получать близкие к квадратным отверстия: углы остаются слегка скруглёнными, а погрешность составляет около 2%.

Источник:Википедия / Кривая постоянной ширины

геометрияматематикаремонт